• (1) はじめの座標が、1,2,3,4,5,6であるから、1回の試行で原点に到達するのは、どの場所にいた場合でも、それぞれの確率である。
      したがって、
      1-=
      の確率で2回目の試行を行うことになる。
      1回目の試行終了後の座標は、-5,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,5のいずれかである。(そのうちのいずれにいるかの確率は、はじめの1,2,3,4,5,6の｢存在確率｣が与えられていない以上、不明である。)
      2回目の試行で原点に到達するのは、どの場所にいた場合でも、それぞれの確率であるから、3回目の試行を行うことになる確率は、
      (1-)2=()2
      である。
      2回目の試行終了後の座標も、-5,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,5のいずれかである。
      3回目の試行で原点に到達するのは、どの場所にいた場合でも、それぞれの確率であるから、求める答えは、
      (1-)2=()2=25/216
      である。
    • (2)
      1回目の試行終了後は、ちょうど原点に到達してゲームが終了しない限り、つねに、-5,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,5のいずれかの座標にいることになるから、いずれの回も、原点に到達する確率は、1/6である。
      したがって、m回で終了する確率は、
      ()m-1    (ただし、m=1,2,3,・・・)
      である。
    • (3)
      (2)の結果から、1,2,3,4,5,6のいずれかの座標(これを｢領域A｣と呼ぶことにする)にいれば、それからm回の試行で終了する確率は、知ることができた。
      したがって、座標8からスタートして、｢領域A｣にはいるまでを問題にすればよいことになる。
      8-6=2
      であるから、1回目に1以外のいずれの目がでても、Aに入ることができる。そこで、1回目が1の場合と、それ以外の場合に分けて考察する。
      1. 1回目が｢1｣のとき
        2回目はどの目がでてもAに入れる。以降(n-2)回で原点に到達して終了すればよい(ただし、n=3,4,5,・・・)から、
        ×1×()n-3    (ただし、n=3,4,5,・・・)
      2. 1回目が｢1｣以外のとき
        ｢1｣以外ならどの目がでてもAに入れる。以降(n-1)回で原点に到達して終了すればよい(ただし、n=2,3,4,・・・)から、
        ×()n-2    (ただし、n=2,3,4,・・・)
      @Aは｢排反事象｣だから、n=3,4,5,・・・に対して、
      ×1×()n-3+×()n-2=(31/216)×()n-3
      n=2のときは、Aより、5/36
      n=1のときは、原点に到達することはありえないから、その確率は0

      以上、まとめると、
      • n=1のとき      0
      • n=2のとき      5/36
      • n=3,4,5,・・・のとき      (31/216)×()n-3
    • (1)
      ｢xが有理数であり、かつ、7x2が整数である｣ならば、｢xは整数である｣ことを示せばよい。
      ｢背理法｣を用いて証明する。
      ｢xが有理数であり、かつ、7x2が整数である、さらに、xは整数でない有理数である｣と仮定すると矛盾を生じることを導く。

      xは有理数であるから、自然数m,nに対して、
      x=n/m
      をみたすm,nがかならず存在する。
      ここで、
      • n=0のとき、x=0(整数)である。
      • n=0でないとき、m,nとして1以外の公約数を持たないもの(互いに素であるもの)をかならず一組決めることができる。
        こうして選ばれたm,nに対して、m=1のときのみ、xは整数となる。
      したがって、xが｢整数でない有理数である｣のは、n≒0かつ、m≒1のときであるから、このように仮定する。

      すなわち、
      • x=n/m
      • ただし、m,nは、1以外の公約数を持たない自然数で、n≒0かつ、m≒1
      と仮定する。

      次に、｢7x2が整数である｣ことから、
      7x2=7n2/m2
      とかけ、m,nが1以外の公約数を持たない以上、mは7を素因数にもたなければならないことになる。
      そこで、
      m=7m'
      とおく。ただし、m'は自然数。
      あらためて、
      7x2=7n2/(7m')2=n2/7m'2
      とかける。m,nが1以外の公約数を持たない以上、もちろん、m',nも1以外の公約数を持たない。
      したがって、nが7を素因数にもたなければならないことになる。
      これは、｢m,nが1以外の公約数を持たない｣という仮定に反する。

      こうして矛盾を生じた。

      よって、｢xが有理数であり、かつ、7x2が整数である｣ならば、｢xは整数である｣ことが、示された。

    • (2)
      ｢a,bが整数であり、かつ、a2-7b2が4の倍数である｣ならば、｢a,bはともに偶数である｣ことを示したい。

      ｢対偶｣をとって、
      ｢a,bが整数であり、かつ、『a,bはともに偶数』でない｣ならば、｢a2-7b2は4の倍数でない｣、
      すなわち、｢a,bが整数であり、かつ、a,bのうち少なくとも一方が奇数である｣ならば、｢a2-7b2は4の倍数でない｣、ことを示す。
      1. a,bいずれも奇数のとき
        a=2m-1,b=2n-1(ただし、m,nは整数)とおく。

        a2-7b2
        =(2m-1)2-7(2n-1)2
        =(4m2-4m+1)-7(4n2-4n+1)
        =4{m2-m-7(n2-n)}-6
        となるから、a2-7b2は4の倍数ではない。

      2. aが偶数で、bが奇数のとき
        a=2m,b=2n-1(ただし、m,nは整数)とおく。

        a2-7b2
        =(2m)2-7(2n-1)2
        =4m2-7(4n2-4n+1)
        =4{m2-7(n2-n)}-7
        となるから、a2-7b2は4の倍数ではない。

      3. aが奇数で、bが偶数のときも同様である。

      @,A,Bいずれの場合も、｢a,bが整数であり、かつ、a,bのうち少なくとも一方が奇数である｣ならば、｢a2-7b2は4の倍数でない｣、すなわち、
      ｢a,bが整数であり、かつ、a2-7b2が4の倍数である｣ならば、｢a,bはともに偶数である｣ことが示された。

    • (3)
      仮定より、
      ｢(r/2)2-7s2が整数である｣ことから、
      ｢これを4倍して得られる{r2-7×(2s)2}は、4の倍数である｣といえる。

      (2)の結果より、｢rおよび2sがいずれも整数ならば、これらはともに偶数である｣といえるはずである。
      ここで、rは整数、したがってr2も整数であり、
      {r2-7×(2s)2}が4の倍数という整数であることから、7×(2s)2も整数である。

      (1)の結果より、｢sが有理数、すなわち2sも有理数、かつ、7×(2s)2が整数であることから、2sは整数である｣といえる。

      ふたたび(2)の結果より、｢rおよび2sがいずれも整数であるから、これらはともに偶数である｣、すなわち、2sは偶数といえる。
      したがって、sは整数である。

      こうして、示された。