(1)
この2次関数の定義域は全実数であるから、
x
座標については、
いくらでも
整数値を選ぶことができる。
整数値
x
に対応する
y
座標が整数値となるのは、
x
2
が3の倍数であり、かつ、
x
が2の倍数であるときである。
x
2
が3の倍数であるならば、
x
も3の倍数である。
【証明】
「対偶」：
x
が3の倍数でないならば、
x
=3
m
+1
x
=3
m
+2
(ただし、
m
は整数)
いずれの場合も、
x
2
は3の倍数ではない。（証明終わり）
「背理法」：
x
2
が3の倍数であり、かつ、
x
が3の倍数でないと仮定する。
x
が3の倍数でないから、
x
=3
m
+1
x
=3
m
+2
(ただし、
m
は整数)
いずれの場合も、
x
2
は3の倍数であることに矛盾する。（証明終わり）
したがって、
x
座標として、3と2の最小公倍数6の倍数を選べば、
y
座標も整数となる。
6の倍数は
無数に存在する
から、この関数のグラフ上には、無限個の格子点が存在する。
(2)
f
(
x
)=
a
x
2
+
b
x
とおく。
y
=
f
(
x
)上に、点O(0,0)以外の格子点A(
x
1
,
f
(
x
1
)),B(
x
2
,
f
(
x
2
))が存在するとする。
ただし、
x
1
0 ,
x
2
0 ,
x
1
x
2
OA間の平均変化率
p
は、
OB間の平均変化率
q
は、
ここで、
x
1
,
x
2
,
f
(
x
1
),
f
(
x
2
)は整数であるから、
p
,
q
はいずれも有理数である。
さらに、
q
-
p
=
a
(
x
2
-
x
1
)
から、
a
は有理数である。
さらに、
p
=
a
x
1
+
b
が有理数であることから、
b
も有理数である。
そこで、
a
,
b
を、
,
とおくことができる。
ただし、
m
1
,
m
2
は自然数、
l
1
は0でない整数、
l
2
は整数。
x
=
m
1
m
2
k
・・・(ただし
k
は0でない整数)
に対して、
は整数である。すなわち、
点(
m
1
m
2
k
,
f
(
m
1
m
2
k
))は格子点である。
0でない整数
k
は無数に存在するから、したがって、この曲線上に、格子点は無数に存在する。
【教訓】授業中に私が間違えたのは、
「命題」：2点A(
x
1
,
f
(
x
1
)) , B(
x
2
,
f
(
x
2
))が、格子点であるならば、AB間の平均変化率は有理数である。
について、「
逆
」
も成立する
、と思いこんでしまったからでした。
そこで問題です。
k
,
l
,
m
,
n
が自然数であることは、
で定義される
p
が有理数であるための、
。
必要十分条件である。
必要条件であるが十分条件ではない。
十分条件であるが必要条件ではない。
必要条件でも十分条件でもない。
有理数
k
、および自然数
l
,
m
,
n
に対して
で定義される
p
が有理数であることは、
k
が整数であるための、
。
必要十分条件である。
必要条件であるが十分条件ではない。
十分条件であるが必要条件ではない。
必要条件でも十分条件でもない。
答え：c,b
【補充】(3)
a
,
b
は実数で、
a
0とする。
y
=
a
x
2
+
b
x
のグラフ上に、点(0,0)以外に格子点がただ1つしか存在しなければ、
a
,
b
はともに無理数であることを証明せよ。
また、この逆は成り立つか。成り立てば証明し、成り立たなければ、反例を挙げよ。
y
=
a
x
2
+
b
x
上に、原点以外に
2点の格子点
が存在すれば、
a
,
b
は
いずれも有理数である
ことは、わかった。
では、原点以外にたった
1点しか格子点がなかった
としたら？
y
=
f
(
x
)上に、点O(0,0)以外にただ1点の格子点A(
x
1
,
f
(
x
1
))が存在するとする。 (ただし、
x
1
0)
OA間の平均変化率
p
は、
x
1
,
f
(
x
1
)は整数であるから、
p
は有理数である。
ここでもし
b
が有理数であるならば、
x
1
が整数であることから、
a
も有理数である。
a
,
b
ともに有理数ならば、上の問(2)の結果から、格子点は無数に存在することになり、仮定に反する。
そこで、
b
は無理数である。
p
が有理数、
x
1
が整数であることから、
a
も無理数である。
「逆」：
a
,
b
がともに無理数（ただし
a
0）であるとき
y
=
a
x
2
+
b
x
のグラフ上に、点(0,0)以外に格子点がただ1つ存在する。
成立しない。
「反例」：
0以外の整数
x
に対して、
√2
x
は無理数、(
x
+√3)も無理数であるが、はたしてその積も無理数である、と言えるのか？
「有理数」×「有理数」=「有理数」
「有理数」×「無理数」=「無理数」
だが、
「無理数」×「無理数」=？
また、【証明】が必要になった。
0でない整数
x
に対して、√2(
x
+√3)が有理数であると仮定すると、
なる0でない有理数
p
が存在することになる。
√6が無理数であることは、必要ならば（！）証明できるから、右辺は無理数、左辺は有理数であり、矛盾している。
したがって、0でない整数
x
に対して、√2(
x
+√3)は無理数である。
よって、0以外のいかなる整数
x
に対しても、
y
は無理数である。すなわち、この曲線上に格子点は、原点以外に1点も存在しない。
まとめると、
a
b
y
=
f
(
x
)上の
原点以外の格子点
有理数
有理数
無数に存在
無理数
無理数
ただ1点存在
または、
存在しない
有理数
無理数
存在しない(*)
無理数
有理数
ところで、(*)の「証明」は？
(2)より、
y
=
f
(
x
)上に、原点以外に2点の異なる格子点が存在すれば、
a
,
b
はともに有理数である。
(3)より、
y
=
f
(
x
)上に、原点以外にただ1点の格子点しか存在しないとすれば、
a
,
b
はともに無理数である。
まとめると、
(2)+(3)：
y
=
f
(
x
)上に、原点以外に少なくとも1点の格子点が存在すれば、
a
,
b
は、
ともに有理数であるか、または、
ともに無理数である。
その「対偶」：
a
,
b
のうち一方が有理数、他方が無理数であるとすれば、
y
=
f
(
x
)上には、原点以外に格子点は存在しない。
もっと直接に、
a
が有理数、
b
が無理数のとき：0以外の整数
x
に対して、
a
x
2
は有理数、
b
x
は無理数、その和は無理数、
a
が無理数、
b
が有理数のとき：0以外の整数
x
に対して、
a
x
2
は無理数、
b
x
は有理数、その和は無理数、
いずれの場合も、
f
(
x
)はつねに無理数。よって、原点以外に格子点は存在しない。
0 , x20 , x1x2
, 
。
。
0とする。y=ax2+bxのグラフ上に、点(0,0)以外に格子点がただ1つしか存在しなければ、a , bはともに無理数であることを証明せよ。
0)
0）であるときy=ax2+bxのグラフ上に、点(0,0)以外に格子点がただ1つ存在する。
