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  (2)について
• 2次方程式x²-ax-b=0の2個の実数解をα,β(ただし、α＜β)とすると、
  解と係数の関係より
  • α+β=a・・・(1)
  • αβ=-b・・・(2)
• 放物線y=x²と直線y=ax+bで囲まれる面積がであることから、
  • (β-α)³=すなわち(β-α)³=27
    α,βは実数であるから、
    β-α=3・・・(3)
• (1)(3)より、
  • α=(a-3)
  • β=(a+3)
• (2)より、
  • b=-(a-3)(a+3)=-(a²-9)
    a,bがともに整数であることから、aは奇数でなければならないことがわかる。
• そこでa=2m+1    (ただしmは整数)とおくことができる。
  • α=m-1
  • β=m+2
  • b=-(m-1)(m+2)
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
• 格子点を求める。
  • x=m-1  のとき、y_U=(2m+1)(m-1)-(m-1)(m+2)  ,  y_L=(m-1)²
    この直線上の格子点数は、y_U-y_L+1で与えられる。
    y_U-y_L+1={(2m+1)(m-1)-(m-1)(m+2)}-(m-1)²+1
                =(m-1){(2m+1)-(m+2)-(m-1)}+1
                =1
  • x=m  のとき、y_U=(2m+1)m-(m-1)(m+2)  ,  y_L=m²
    同様に、
    y_U-y_L+1={(2m+1)m-(m-1)(m+2)}-m²+1
                =3
  • x=m+1  のとき、y_U=(2m+1)(m+1)-(m-1)(m+2)  ,  y_L=(m+1)²
    y_U-y_L+1={(2m+1)(m+1)-(m-1)(m+2)}-(m+1)²+1
                =3
  • x=m+2  のとき、y_U=(2m+1)(m+2)-(m-1)(m+2)  ,  y_L=(m+2)²
    y_U-y_L+1={(2m+1)(m+2)-(m-1)(m+2)}-(m+2)²+1
                =(m+2){(2m+1)-(m-1)-(m+2)}+1
                =1
  以上から、この領域に含まれる格子点数は、mに無関係、すなわち、a,bに無関係な定数8である。

  【例】m=0のとき

  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
• 以下のようなBasicプログラムを作って、aを1から15まで変化させてみて、格子点を計算させてみた。なるほど、いつまでたっても、「8個」である！
  
  
• 計算結果：aに1から15までの整数を入力し、対応するb,α,βを算出した。右に並んでいるのが、そのときの格子点の一覧である。
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
• 上の計算結果の各場合に対応する、m=0,1,2,3,4,5,6,7について、グラフも作ってみた。
  x軸に比べてy軸の縮尺を100分の1に縮めてある。

m=0  (a,b)=( 1, 2),(alpha,beta)=(-1, 2)	m=1  (a,b)=( 3, 0),(alpha,beta)=( 0, 3)
m=2  (a,b)=( 5,-4),(alpha,beta)=( 1, 4)	m=3  (a,b)=( 7,-10),(alpha,beta)=( 2, 5)

m=4  (a,b)=( 9,-18),(alpha,beta)=( 3, 6)	m=5  (a,b)=( 11,-28),(alpha,beta)=( 4, 7)
m=6  (a,b)=( 13,-40),(alpha,beta)=( 5, 8)	m=7  (a,b)=( 15,-54),(alpha,beta)=( 6, 9)