傾きθ/2の直線y=xtan(θ/2)に関する対称移動を表す1次変換を求める。
• 【方法1】回転を表す行列を用いて。
  
  P(x,y),Q(X,Y)に対して、 とする。
    ,  とすると、
  Aは原点まわりの(θ-2α)回転を表す行列であるから、
  
  すなわち、
  
  これは次のように、二つの行列の積として表される。
  
  さらに、右側の行列と列ベクトルの積を計算すると、
  
  すなわち、
  
  
  となって、求めるAは、
  
  であることがわかった。そうすると、上の式に現れた行列
  
  は、直線y=xtanαに関する対称移動を表すことになり、なるほどPはこの直線上の点であるから、この変換によっては移動しない(！)のであった。
  
  
  
• ところで、原点を中心とする回転、という変換は、交換可能である。
  だから、原点まわりの(θ-2α)回転は、
  1. まず、-2α回転し、その後、θ回転しても、(下の図のA→A1→C)
  2. まず、θ回転し、その後、-2α回転しても、(下の図のA→A2→C)
  当然、同じ結果になる。
  
  
  これを、次のようにして、やはりθだけを含む行列と、αだけを含む行列との積に分解すると、
  
  となる。今度は交換可能ではなく、
  1. まず、y=xtanαに関する対称変換を行い、その後、y=xtan(θ/2)に関する対称変換を行う(下の図のA→B→C)のと、
  2. まず、y=-xtan(θ/2)に関する対称変換を行い、その後、y=-xtanαに関する対称変換を行う(下の図のA→B'→C)のと、
  が、同じであることを示している。
  
  
  
  それにしても、一般に、
  
  のような変形が出来るのは、なんとも不思議である。
  「主対角線｣ではない対角成分の一方ずつの符号を変えた行列の積が、「主対角線」成分の一方の符号のみを変えた行列の積に変換できるのだから。
  
  に対して、「主対角線｣ではない対角成分の一方ずつに印をつけると、
  
  なるほど、「主対角線」成分では印が二重になる。だから、
  
  と同じになる。同様に、
  
  
  すなわち、
  
  
  
• 「直交行列」性について
  (^tA)A=A(^tA)=E    すなわち、   A^-1=^tA
  となる行列を「直交行列」という。
  |A|=|^tA|    だから、   |(^tA)A|=|A(^tA)|=|A|²=|^tA|²=|E|=1     すなわち、  |A|=1,-1
  • 原点まわりのθ回転をあらわす行列、
      は、|A|=1  の直交行列、
  • y=xtan(θ/2)に関する対称変換をあらわす行列、
      は、|A|=-1  の直交行列、
  である。したがって、それぞれの逆行列と、n乗については、
  • 原点まわりのθ回転をあらわす行列では、
          
  • y=xtan(θ/2)に関する対称変換をあらわす行列では、
      
    n  が奇数のとき、    Aⁿ=A^2m+1=(A²)^mA={(^tA)A}^mA=E^mA=A
    n  が偶数のとき、    Aⁿ=A^2m=(A²)^m={(^tA)A}^m=E^m=E
  となる。
  
  
  
• 【方法2】線対称の幾何学的性質を用いて。
  
  P(x,y),Q(X,Y)に対して、
  1. 直線PQと、直線y=xtan(θ/2)が直交すること、
  2. PQの中点Mが、直線y=xtan(θ/2)にあること、
  から、

  θが0でないとき、 ・・・(i) ・・・(ii)

  ・・・(i) ・・・(ii)

  すなわち、
  
  1+tan²(θ/2)は正であるから、
  
  
  すなわち、
  
  θ=0のとき、であり、これはx軸に対する対称変換だから、条件を満たしている。
  
• 【参考までに・・・】さらに、「直交行列」の「固有値」について。
  
  の固有方程式は、t²-2tcosθ+1=0    その解は、
  
  と、複素数で、その絶対値は、1である。固有ベクトルを求めると、
  
  であるから、
  
  すなわち、
  
  ix₁+y₁=0  より、  (x₁,y₁)=(i,1)
  ix₂-y₂=0  より、  (x₂,y₂)=(1,i)
  すなわち、
  
  であるから、次のように「対角化」出来る。
  
        に対して、
  AP=PB
  A=PBP^-1
  Aⁿ=PBⁿP^-1
  したがって、
  
  二項定理から、
  
  したがって、
  
  一方、    であるから、ここから、
  
  が得られる。
  
  次に、
  
  の固有方程式は、t²-1=0    その解は、1,-1
  同様に固有ベクトルを求めると、
  
  
    に対して、
  Aⁿ=PBⁿP^-1
  したがって、
  
  すなわち、nが奇数のとき  Aⁿ=A  、  nが偶数のとき  Aⁿ=E  である。
  
  
  
  
• 【例題】次の行列は、ベクトル(a,b)がx軸となす角をθとすると、
  
  のように変形できるから、それぞれ、
  • 原点まわりθ回転と、√(a²+b²)倍拡大、
  • 直線y=xtan(θ/2)に関する対称移動と、√(a²+b²)倍拡大、
  の合成変換、と見ることができる。これを用いて、以下の行列が、どのような変換を表すかを述べよ。
  

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  • 左は、原点まわりπ/3回転と、2倍拡大、の合成変換、
  • 右は、直線y=xtan(π/6)に関する対称移動と、2倍拡大、の合成変換。