実数a,b,c,dに対して、
[証明]
∵ a,b,c,dは、実数だから。
すなわち、
[証明]
,
のなす角をθとすると、
等号成立は、
|
|=0、すなわち、=
、または、
|
|=0、すなわち、=、または、
cosθ=
1、すなわち、θ=nπ (nは整数)、
すなわち、
,が｢1次従属｣であるとき。
|
ベクトルの外積
ベクトルa,bのなす角をθとすると、 
ただし、nは、aがbに重なるように最小の角度で回転したとき、 その回転を右ねじの回転とみなして、右ねじの進む方向の単位ベクトル |
x,y,z各方向の単位ベクトルをそれぞれi,j,kとすると、
|
とすると、 
右辺は、a,bをそれぞれ行ベクトルとする2次の正方行列  の行列式であるから、
kは単位ベクトルであるから、 
|
したがって、上の証明は、外積を用いれば、次のように書くことができる。
等号成立は、
|a|=0、すなわちa=o、または、
|b|=0、すなわちb=o、または、
sinθ=0 すなわち、θ=nπ (nは整数)、
すなわち、a,bが｢1次従属｣であるとき。
[証明]
3次元ベクトルについては、
|
等号成立は、
|a|=0、すなわちa=o、または、
|b|=0、すなわちb=o、または、
sinθ=0 すなわち、θ=nπ (nは整数)、
すなわち、a,bが｢1次従属｣であるとき。
[証明1]
右辺は、
に対して、
であるすべての組み合わせについて、
となるn(n-1)項をを加算したものであるから、正または0である。
等号成立は、すべての
に対して、
であるとき、
すなわち、
としたとき、
等号成立は、
|a|=0、すなわちa=o、または、
|b|=0、すなわちb=o、または、
a,bのなす角θに対してsinθ=0 すなわち、θ=nπ (nは整数)、
すなわち、a,bが1次従属であるときである。
[証明2]
- n=1のとき
成立する。
- n=mのとき
と仮定する。
とおくと、仮定より 
であるから、
に対して、
のとき、 
のとき、
であるから、｢相加平均・相乗平均の関係｣より、
また、仮定より、
すなわち、
したがって、
また、 であるから、
よって、
等号成立は、
かつ、 
すなわち、
かつ、 
i,iiにより、任意の自然数nに対して成立する。
で連続な関数、f(x),g(x)に対して、
[証明]
とおく。
であるから、
すなわち、
ここで、
であるから、
のとき
任意のxに対して、
すなわち、 
となるから、このとき、
である。
のとき
