1. 
   
   

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(1)
立体V₁の平面x=tによる切り口を想像すべく、いろいろな角度からの図面を作ってみた。
それぞれ右側の図面には、平面x=tが網目状に描き入れてある。
  
  
立体V₁が、一番太くなるのは、弧ACのところであり、これが平面x=tを横切る場所で、断面の形状は劇的に変わるはずだ。
  

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したがって、xy平面上の直線x=tと、直線ACすなわちx+y=0の交点(t,-t)を境に、場合わけをすることにする。

• 点P(t,s)が、直線ACのB側にいるとき、すなわち-ts1のとき。
  これをz軸の正の方向から見下ろしたのが、左の図、
• 点P(t,s)が、直線ACのD側にいるとき、すなわち-1s-tのとき。
  これをz軸の正の方向から見下ろしたのが、右の図、である。

  
P(t,s,0)を通るxy平面上の直線x+y=s+tを含み、z軸と平行な平面αを考え、
この平面αで、立体V₁を切った断面は、円になる。これをB側から眺めたのが、下の図で、それぞれ、

• 左が、-ts1のとき、
• 右が、-1s-tのとき、

を表している。このときP(またはP')を通りz軸と平行な直線が、円弧と交わる点Q(またはQ')のz座標が、平面x=tによる切り口の断面上の、y座標sに対応するz座標になる。これらの関係式を得ることが出来れば、それが、切り口の｢図形｣の式をあらわすことになるだろう。

-ts1のとき

-1s-tのとき

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• -ts1のとき

  この円の半径rは、

  
  したがって、PQの長さは、
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
• -1s-tのとき

  この円の半径r'は、

  
  したがって、P'Q'の長さは、
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
• x=t平面上に、(t,0,0)を原点として、それぞれy軸、z軸に平行に、Y軸、Z軸をとると、
  立体V₁の断面の形状は、下図のようになるだろう。(z0のみを示した。)
  
  Y=-tのとき、
  
  よって求める面積をS₁(t)とすると、
  
  
  

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  (2)
  立体V₂の、平面x=tによる切り口は、明らかに軸対象となるだろうから、下図のようになる。
  2つの切り口の図形の共通部分に当たる面積をS(t)とすると、求める体積V₁,V₂の共通部分は、あきらかに、yz平面に関して対称であろうから、
  
  となる。
  
  
  
  
  
  
  
  
  したがって、求める体積は、