---

期待値、分散の加法・乗法に関する交換可能性

---

確率変数X,Yは、以下の値をとる。

• X = x_i      (i=1,2,3,・・・,m)
• Y = y_j      (j=1,2,3,・・・,n)

に対して、
P(X = x_i かつ Y = y_j) = p_ij
とする。すなわち、

X・Y		y1	y2	・・・	yi	・・・	ym
x1		p11	p12	・・・	p1j	・・・	p1n
x2		p21	p22	・・・	p2j	・・・	p2n
・・・		・・・	・・・	・・・	・・・	・・・	・・・
xi		pi1	pi2	・・・	pij	・・・	pin
・・・		・・・	・・・	・・・	・・・	・・・	・・・
xm		pm1	pm2	・・・	pmj	・・・	pmn

Xの期待値E(X)は、

Yの期待値E(Y)は、

これに対して、Xa+bYの期待値E(Xa+bY)は、

E(X+Y)=E(X)+E(Y) 「和」の期待値は、期待値の「和」である

確率変数XYの期待値E(XY)は、

一方、

であるから、一般にE(XY)=E(X)E(Y)は成立しない。

ここで、X,Yが「独立」であったとすると、

この条件の下では、



次に分散については、



であるから、X,Yが独立であるときに限り、E(XY)=E(X)E(Y)が成立し、

が成り立つ。