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1. 定理1.4を証明せよ。
   
   定理1.4     {a_n},{b_n}が収束するとき、次が成り立つ：
   1. 
   2. 
   3. (cはnに無関係な定数)
   4. 
   5. 

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   [証明] 以下、とする。
   1. であるから、任意の正数εに対して、
      n＞N₁のとき、となるN₁および、
      n＞N₂のとき、となるN₂が存在する。
      ここで、N₁,N₂のうち、小さくないもの、を、Nとする、すなわち、N=max(N₁,N₂)とすると、
      n＞Nのとき、n＞N₁かつn＞N₂であるから、
      
      これは、任意の正数εに対して、
      n＞Nのとき、であることを示している。すなわち、
      

      ---

   2. であるから、任意の正数εに対して、
      n＞N₁のとき、となるN₁および、
      n＞N₂のとき、となるN₂が存在する。
      ここで、N₁,N₂のうち、小さくないもの、を、Nとする、すなわち、N=max(N₁,N₂)とすると、
      n＞Nのとき、n＞N₁かつn＞N₂であるから、
      
      これは、任意の正数εに対して、
      n＞Nのとき、であることを示している。すなわち、
      
      
      注：上では、以下を用いた。
      |A+B|≦|A|+|B|
      B'=-Bとおくと、|A-B'|≦|A|+|-B'|=|A|+|B'|
      よって、|A-B'|≦|A|+|B'|

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   3. であるから、任意の正数ε'に対して、
      n＞Nのとき、となるNが存在する。
      nに無関係な定数cに対して、
      
      ここで、|c|ε'=εとおくと、任意の正数ε'に対して、正数εをとることができるから、
      任意の正数εに対して、
      n＞Nのとき、すなわち、
      

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