• 水平に置かれたバネ
  
  バネ定数kのバネを水平に置き、一端を固定して他端に質量mのおもりをつける。
  ばねの延びる方向にx軸をとり、自然長をx=0とする。
  時刻t=0に、x=Aまでバネを引っ張り、手を離す。
  • 運動方程式：-kx=ma
    初期条件：t=0で、x=A
  • x=Acosωt
    v=-ωAsinωt
    a=-ω²Acosωt=-ω²x
    

  	重力による 位置エネルギー	弾性力による 位置エネルギー	運動エネルギー		合計
  変位x	-	kA2cos2ωt	m(-ωAsinωt)2 =kA2sin2ωt		kA2
  x=A	-	kA2	0		kA2
  x=0	-	0	mω2A2=kA2		kA2

  
  
  
  
  
• 鉛直に置かれたバネ
  
  バネ定数kのバネを天井からつり下げ、下端に質量mのおもりをつける。
  鉛直下方にx軸をとり、自然長をx=0とする。
  つりあいの位置をx=x₀とする。
  時刻t=0に、つりあいの位置からさらにA、すなわちx=x₀+Aまでバネを引っ張り、手を離す。
  • 単振動を行わせる前の、つりあいの式：-kx₀+mg=0
    すなわち  
  • 単振動をはじめたあとの、運動方程式：-kx+mg=ma
    初期条件：t=0で、x=x₀+A
  • 運動方程式を変形して、  
    すなわち  -k(x-x₀)=ma
    X=x-x₀  と置き換えると、  -kX=ma
    したがって、X=Acosωt  すなわち、x=Acosωt+x₀
  • x=Acosωt+x₀
    v=-ωAsinωt
    a=-ω²Acosωt=-ω²(x-x₀)
    
  
  重力による位置エネルギーの基準面を、x=0(自然長)として、エネルギー保存則を考えると、

  	重力による 位置エネルギー	弾性力による 位置エネルギー	運動エネルギー		合計
  変位x (*1)	-mgx =-mg(Acosωt+x0)	kx2 =k(Acosωt+x0)2	m(-ωAsinωt)2 =kA2sin2ωt		k(A2-x02)
  x=x0+A (*2)	-mg(x0+A)	k(x0+A)2	0		k(A2-x02)
  x=x0 (*3)	-mgx0	kx02	mω2A2=kA2		k(A2-x02)

  • (*1)の計算経過
    
    
  • (*2)の計算経過
    
  • (*3)の計算経過
    
  
  
  
  
  
  
  重力による位置エネルギーの基準面を、x=x₀(つりあいの位置)として、エネルギー保存則を考えると、

  	重力による 位置エネルギー	弾性力による 位置エネルギー	運動エネルギー		合計
  変位x (*1')	-mg(x-x0) =-mgAcosωt	kx2 =k(Acosωt-x0)2	m(-ωAsinωt)2 =kA2sin2ωt		k(A2+x02)
  x=x0+A (*2')	-mgA	k(x0+A)2	0		k(A2+x02)
  x=x0 (*3')	0	kx02	mω2A2=kA2		k(A2+x02)

  • (*1')の計算経過
    
  • (*2')の計算経過
    
  • (*3')の計算経過