粗い斜面の下端Oから小物体を速さv₀で打ち出したところ、小物体は斜面上の点Pまで達し、その後下端Oに戻ってきた。 小物体が打ち出された時刻をt=0、点Pに達した時刻をt=t₁とする。 また、小物体が下端Oに戻ってきたとき、小物体の速さはv₀であった。
このとき、以下の値を、v₀、t₁、および重力加速度gを用いてあらわせ。

1. 下端Oから点Pまでの距離L
2. 小物体が下端Oに戻る時刻t₂
3. 斜面が水平面となす角をθとするときtanθ、ただし、0θπ
4. 斜面の動摩擦係数μ'

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1. Oを原点として、斜面に沿って上向きにx軸をとる。
   v-tグラフは、
   
   
   • v-tグラフの接線の傾きが、加速度aをあらわすから、
     • a_U:斜面を上昇するときの加速度
     • a_D:斜面を下降するときの加速度
     とすると、
     •             ・・・(1)
     •   ・・・(2)
     
     
   • また、v-tグラフの曲線下の面積が、移動距離を表すから、
     •           ・・・(3)
     •   ・・・(4)
     
     
   • よって、iの答えは、
   
   
2. (3)(4)より、
   
   
   よって、
   
   
   
   
3. Oを原点として、斜面に沿って上向きにx軸をとり、
   M:小物体の質量 とすると、
   
   
   
   • 運動方程式は、
     • 上昇時：
     • 下降時：
     すなわち、
     • ・・・(5)
     • ・・・(6)
     
     (5)+(6)  
     (5)-(6)  
     
   • したがって、
     
     すなわち、
     
     
   • また、
     
     
     であるから、
     
     
     
     
     
     
     
   • ここで、
     
     
     すなわち、
     
     
     であるから、
     
   
   
   
4. さらに、
   
   または、